Thứ ba, 18/03/2014, 13:47 GMT+7

Bài giải câu 2 kì thi học sinh giỏi toán trên máy tính Casio cấp quốc gia 2014

Đề

Câu 2: Cho đa thức $P(x)=6x^{4}-7x^{3}-12x^{2}+ax+2$ và $Q(x)=x^{2}+bx-2$

a) Xác định a, b ( dưới dạng số nguyên hoặc phân số) để đa thức P(x) chia hết cho Q(x)

b) Với a tìm được hãy tìm tất cả các nghiệm của đa thức P(x)

Trích kì thi học sinh giỏi toán trên máy tính Casio cấp quốc gia 2014

Giải trên máy tính Casio fx 570vn plus

a) Ta có

$\left ( 6x^{4}-7x^{3}-12x^{2}+ax+2 \right )\div \left ( x^{2}+bx-2 \right )= 6x^{2}-\left ( 7x+6b \right )x+7b+6b^{2}$

và có số dư là $\left ( a-6b^{3}-7b^{2}-12b-14 \right )x+12b^{2}+14b+2$

Để $P(x)$ chia hết $Q(x)$ thì

$\left ( a-6b^{3}-7b^{2}-12b-14 \right )x+12b^{2}+14b+2=0\vee x$

Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} a-6b^{3}-7b^{2} -12b-14=0& \\ 12b^{2}+14b+2=0 & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình

$12b^{2}+14b+2=0$ $12b^{2}+14b+2=0 \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} b_{1}=-\frac{1}{6} & \\ b_{2}=-1 & \end{matrix}$

$b=-\frac{1}{6}\Rightarrow a=\frac{73}{6}$

$b=-1\Rightarrow a=3$

b) Với a tìm được hãy tìm tất cả các nghiệm của đa thức P(x)

$a=\frac{73}{6}$

Ta có phương trình $P(x)=6x^{4}-7x^{3}-12x^{2}+\frac{73}{6}x+2$

Dùng lệnh SOLVE giải phương trình ta có nghiệm : $x_{1}=1,1455;x_{2}=\frac{3}{2};x_{3}=-0,1455;x_{4}=-\frac{4}{3}$

$a=3$

Ta có phương trình $P(x)=6x^{4}-7x^{3}-12x^{2}+3x+2$

Dùng lệnh SOLVE giải phương trình ta có nghiệm : $x_{1}=\frac{1}{2};x_{2}=-\frac{1}{3};x_{3}=2;x_{4}=-1$