1900 2152

Hàm số lượng giác với Casio fx 570ES PLUS

Cho hàm số : y = 36cosx + 9cos2x + 4cos3x .

a/ Chứng minh rằng :  y + 31 ≥ 0   đúng với mọi số thực x .

b/ Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho :  y ≤  k  đúng với mọi số thực x

(BÀI 1, KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNHTHỪA THIÊN HUẾ, KHỐI 12 CHUYÊN- NĂM HỌC2009-2010)

Đặt t = cosx, ta có : \small \dpi{80} \fn_jvn y=36t +9(2t^2 -1)+4(4t^3-3t) =16t^3+18t^2+24t-9 .

Xét φ(t) = \small \dpi{80} \fn_jvn 16t^3+18t^2+24t-9 với -1≤ t ≤ 1 .  

 φ’(t) = \small \dpi{80} \fn_jvn 48t^2+36t+24 >0 .

φ(-1) = -31, φ(1) = 49 .Ta có :  -31≤ φ(t) ≤ 49 .

Từ đó : y +31 ≥  0 đúng với mọi số thực x. Dấu bằng xảy ra trong trường hợp cosx = -1

Chú ý: 1/ Do tính tuần hoàn và chẵn của y nên chỉ cần tìm Miny trên đoạn [0;π]

           2/  y +31 ≥ 0 ⇔ \small \dpi{80} \fn_jvn 2(cosx+1)(8cos2x +cosx+11) \geq 0

Giả sử k là số thỏa : y ≤ k đúng với mọi số thực x .

Khi đó với x = 0 thì   49 ≤  k .

Ta chứng minh y ≤  49 đúng với mọi số thực x .

Do Maxy = 49 nên y ≤ 49 đúng với mọi số thực x .

Số k nhỏ nhất thỏa bài toán là 49 .