( Trích đề thi HSGMT Thanh Hóa, THCS, 2005)

Giải:

Giải trên máy tính Casio fx-500MS (các máy tính khác tương tự)

Ta có: $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n} +n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1} +\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

suy ra $\frac{1}{2\sqrt{1} +1\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{3\sqrt{2} +2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$

.......................

$\frac{1}{2005\sqrt{2004} +2004\sqrt{2005}}=\frac{1}{\sqrt{2004}}-\frac{1}{\sqrt{2005}}$

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta có:

$\frac{1}{2\sqrt{1} +1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2} +2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2005\sqrt{2004} +2004\sqrt{2005}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2005}}$

suy ra S = 0,9776672188

Vậy S = 0,9776672188

“Theo sách hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO FX-570MS”