( Trích đề thi HSGMT TP.HCM, THCS, 2006-2007)

Giải:

Giải trên máy tính Casio fx-500MS( các máy tính khác tương tự)

Ta có: P(x) chia cho ${\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">2</span>}}$ +2 dư x nên $\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">P</span>}<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">x</span>}<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">)</span><span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">=</span><span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">(</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">2</span>}}<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);"> </span><span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">2</span>}<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">)</span><span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">a</span>}{\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">2</span>}}<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);"> </span><span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">m</span>}\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">x</span>}<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">n</span>}<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">)</span><span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">x</span>}$

Vì P(x) chia hết cho ${\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">2</span>}}$ -1 nên P(1) = 0 ; P( -1) = 0

Thay x = 1; - 1 và 2 vào P(x), ta có hệ:

$\{\begin{array}{l} a+m+n= -\frac{1}{3}\\ a-m+n=\frac{1}{3}\\ 4a+2m+n=335 \end{array}$

Dùng máy tính ta giải được: $a=\frac{1007}{9};m= -\frac{1}{3};n= -\frac{1007}{9}$

suy ra: $P\left(x\right)=(x^2 +2)(\frac{1007}{9}{x}^2 -\frac{1}{3}x-\frac{1007}{9})+x$
$\Rightarrow P\left(x\right)=\frac{1007}{9}{x}^4 -\frac{1}{3}{x}^3 +\frac{1007}{9}{x}^2 +\frac{1}{3}x-\frac{2014}{9}$

Vậy $a=\frac{1007}{9};b= -\frac{1}{3};c=\frac{1007}{9};d=\frac{1}{3};e= -\frac{2014}{9}$

“Theo sách hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO FX-570MS”